１．群論の基礎

【まとめ】
　・群とは掛け算で結びついた元の‘群れ’である。
　・元の掛け算を群の掛け算に拡張する。（ａｂ→ＡＢ）
　
［１］群の定義
　１）群とは、元が掛け算と割り算について閉じている‘集合’である。
　　例）Ｓ３（３次対称群）

　　Ｓ３のどのふたつの元の積もＳ３に入り、
　　　　　　どの元の逆元も　　　　Ｓ３に入る。

　２）部分群とは、郡の部分集合が、また群になっているものである。
　　例）Ａ３（３次交代群）はＳ３の部分群である。　

　　Ａ３⊂Ｓ３、
　　Ａ３のどのふたつの元の積もＡ３に入り、
　　　　　　どの元の逆元も　　　　Ａ３に入る。

［２］群の積（掛け算）
　　ＡとＢを群とする。
　　群の積ＡＢとは、Ａの元ａとＢの元ｂをこの順にかけ合わせた積ａｂの
　　すべてからなる‘集合’である。

［３］群の商（割り算）
　　　 Ｇを群、ＮをＧの正規部分群（定義は他の本を参照）とする。
　　　群の商Ｇ／Ｎとは、分子の群Ｇを分母の群Ｎでまさしく‘割る’こと、すなわち
　　　Ｇ／Ｎ＝ＨつまりＧ÷Ｎ＝Ｈのとき、Ｇ＝ＨＮとなる群Ｈのことである。
　　　正規部分群とは商が群になる部分群である。　
　　　例）Ｓ３、Ａ３、Ｚ２（２次巡回群）のとき、
　　　　　Ｓ３／Ａ３＝Ｚ２、つまりＳ３÷Ａ３＝Ｚ２
　　　　　Ｓ３／Ｚ２＝Ａ３、つまりＳ３÷Ｚ２＝Ａ３
　　補１）一般には、群÷部分群＝集合（群ではない）であって、
　　　　　とくに部分群が正規部分群のとき
　　　　　群÷正規部分群＝部分群となる。
　　　　　（ただし、いつでも商は最小サイズ（元の個数が最小）の集合になるようにとる。）
　　　　　正規部分群とは、整数における‘約数’のようなものである。
　　補２）Ｇが群でＮがＧの正規部分群のときには
　　　　　Ｇ／Ｎ＝Ｎ＼Ｇ＝Ｈなので、たんにＧ÷Ｎ＝Ｈでよい。
　　　　　一般には、元の積が可換とは限らないので
　　　　　Ｇ／Ｎ≠Ｎ＼Ｇである。

［４］同型定理（現代数学は集合と対応で考えていけばいい）
　　１）準同型定理
　　　　群Gと群G'の間に準同型写像f（群における準同型写像とは、
　　　　積を保つ写像すなわちｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ））があるとき、
　　　　群G’の単位元e'に写る群Gの集合Nは群Gの正規部分群であって、
　　　　G/NとG'の対応は一対一の準同型写像すなわち同型写像となる。
　　　　つまり、Ｇ／Ｎ〜Ｇ’、すなわち　
　　　　群Ｇを核Ｎ（じつはＧの正規部分群になる）で割った答えとしての群と、
　　　　群Ｇ’すなわちＧ’／ｅ’（ｅ’は単位元だけからなる集合）とが同型になる。
　　　　同型とは、
　　　　�@）集合として元の数が同じ　
　　　　�A）代数として積の関係が同じ
　　　　ことである。
　　２）第一同型定理（準同型定理の一般化）
　　　　群G'の正規部分群N'に写る群Gの集合Nは群Gの正規部分群であって、　　　　
　　　　Ｇ／Ｎ〜Ｇ’／Ｎ’、すなわち
　　　　商Ｇ／ＮつまりＧ÷Ｎという割り算の結果としてのひとつの群と
　　　　商Ｇ’／Ｎ’つまりＧ’÷Ｎ’という割り算の結果としてのひとつの群とが
　　　　同型になる。
　　３）第二同型定理（可約律）
　　　ＨＮ／Ｎ＝Ｈ／Ｈ∩Ｎ　（ＨはＧの部分群、ＮはＧの正規部分群）
　　　左辺ＨＮ／ＮつまりＨかけるＮわるＮという計算を行った結果得られたひとつの群と、
　　　右辺Ｈ／Ｈ∩ＮつまりＨわる（Ｈ∩Ｎ）という計算を行って得られた答えの群が、
　　　同型つまり集合的、代数的に同じに見えること。
　　　補１）普通の数の場合には
　　　　　左辺ＨＮ／Ｎは、分母と分子を‘約分’して
　　　　　ＨＮ／Ｎ＝Ｈとなるが、群の計算ではＨやＮは
　　　　　‘ひとつの数’ではなく‘集合’なので、
　　　　　ＨＮ／Ｎ≠Ｈとなる。
　　　　　たとえば、とくにＨ＝Ｎ（≠１）として、
　　　　　ＨＮ／Ｎ＝ＮＮ／Ｎ＝Ｎ／Ｎ＝１≠Ｈとなる。

［５］群の単純群分解
　　単純群とは、１とそれ自身以外の正規部分群を持たない群である。単純群とは、整数における‘素数’のようなものである。
　　有限群はつねに単純群の積に分解される。整数が素数の積に分解されるのと同様である。
　　例）Ｓ２（２次対称群）＝Ｚ２（２次巡回群）
　　　　Ｓ３（３次対称群）＝Ｚ２Ｚ３
　　　　Ｓ４（４次対称群）＝Ｚ２Ｚ３Ｚ２'Ｚ２"
　　　　Ｓ５（５次対称群）＝Ｚ２Ａ５（Ａ５は単純群）
　　　　　Ａ５は‘複雑な’群なので、『５次方程式はベキ根だけでは解けない。』

２．ガロア理論

代数方程式の非可解性は、１次、２次、３次、４次などの具体的方程式についての解法のプロセスを分析し、一般化すれば見えてくる。例えば、３次方程式の解法は、本２（下を見よ）の１３４ページに、４次方程式の解法は、本２の１３６ページにわかりやすく書いてある。
◆参考にした本（どちらもクロネコヤマトの宅配便で買った）
１）「初めて学ぶ人のための群論入門」横田一郎著、現代数学社、２６００円（税別）
２）「ガロア理論講義」足立恒雄著、日本評論社、２９００円（税別）


ある方程式が解けるとは、方程式の解Xが、

の形に書けることである。
したがって、方程式が解けないことを示すには、解Xが上の形に書けないことを示せばよい。
方程式が解けないことは、
｛P｜Pはある方程式の解、およびそれらの加減乗除｝が
｛Q｜Qはある方程式の係数に加減乗除とべき乗根を施したもの｝に
含まれないことを示せばよい。
そこで上のふたつの集合の‘対称性’が異なることを、‘対称性’の意味を論理的に厳密に定義することによって示せばよい。‘対称性’とは、いわばその集合の‘形’であり、それはガロア群で表される。
ガロア群とは、集合から同じ集合への自己同型写像の群である。
ここでの集合（いわゆる体）における自己同型写像とは、和と積を保つ写像、
すなわちｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）、ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）。

左の集合｛P｝の自己同型写像は(一般に)解のいれかえであり、右の集合｛Q｝の自己同型写像は１のべき乗根をかけることである。
したがって、左の集合の‘対称性’は(一般に)Sn(ｎ次対称群)であり、右の集合の‘対称性’はZm(m次円群)の積である。
右の集合では、各段階が独立になるので、１段階ごとに分析して見ていくと、Zmの積になることがわかる。
いわば、集合の‘形’が、左の集合では正多面体的であるのにたいし、右の集合では円的であり、ふたつの集合は‘形が違っている’のである。
左の集合｛P｝が右の集合｛Q｝ に含まれないことを示すには、SnがZrの積に書けないことをいえばいい[詳しくは、他の数学書を参照]。
例えば、S5はZmの積の形に書けないから、一般の５次方程式は解けないことになる。

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